2011年9月19日，甲公司（买方）与乙公司（卖方）签订了一份毛呢买卖合同。合同约定，买方向卖方购买毛呢外套1000件。后甲公司以质量不符合标准为由，拒付货款。双方发生争议，后经协商达成书面仲裁协议。事后，卖方向约定的仲裁委员会申请仲裁，而买方向人民法院提出诉讼，被法院判决不予受理。后该仲裁委员会受理了该案。在仲裁委员会受理之后，买方辩称，卖方向仲裁委员会提交的仲裁协议，未经买方同意，请求仲裁委员会决定该仲裁协议无效。
甲公司向法院起诉是否正确？法院的做法是否正确？为什么？
若仅就仲裁协议效力问题，双方各自向仲裁委员会和法院申请确认仲裁协议效力，请问由何机构进行管辖？
若仲裁委员会确定仲裁协议有效，买方不服，欲请求人民法院重新对该协议效力进行确认，可否？