答案:
(1)由已知得,a2n-1==n,a2n=2=2n,故bn==,…(2分)
Sn=b1+b2+…+bn=1×+2×()2+3×()3+…+n•()n…(3分)
Sn=1×()2+2×()3+3×()4+…+n•()n+1…(4分)
两式相减得,Sn=+()2+()3+()4+…+()n-n•()n+1=1-()n-n()n+1…(5分)
化简得Sn=2-(n+2)()n.…(7分)
(2)由(1)|Sn-2|=(n+2)()n,
因而|Sn-2|<⇔(n+2)()n<⇔n(n+2)<2n
问题转化为证明:当n≥6时,n(n+2)<2n,…(9分)
采用数学归纳法.
①当n=6时,n(n+2)=6×8=48,2n=26=64,48<64,
此时不等式成立,…(10分)
②假设n=k(k≥6)时不等式成立,即k(k+2)<2k,…(11分)
那么当n=k+1时,2k+1=2×2k>2k(k+2)=2k2+4k=k2+4k+k2
>k2+4k+3=(k+1)(k+3)=(k+1)(k+1)+2
这说明,当n=k+1时不等式也成立…(13分)
综上可知,当n≥6时,n(n+2)<2n,成立,原命题得证.…(14分)