案情：2007年8月，飞达公司总经理秘书宋某突然失踪，其家人发现她失踪后多方寻找未果，几天后，在郊区一片废弃的建筑工地上发现其尸体。该市公安局经立案、侦查，认为该公司的司机刘某有嫌疑。侦查终结后，公安局于2007年10月31日将案件移送至该市检察院审查起诉。市检察院接到公安局移送起诉的案件后，由检察员孙某一人仅对犯罪嫌疑人刘某进行了讯问，即认为证据不足，遂于11月 12日退回公安局补充侦查。12月19日，公安局补充侦查完毕，再次移送起诉。市检察院经过审查，认为证据仍然不足以证明刘某实施了杀人行为，遂于2008年2月10日作出了证据不足不起诉的决定。市检察院公开宣布该不起诉决定，并于2月12日将不起诉决定送达了公安局、犯罪嫌疑人刘某、被害人宋某的母亲吴某。市公安局认为不起诉决定不当，于是继续羁押刘某并向上一级检察院即该省人民检察院提起复议，省检察院维持了不起诉决定。吴某对不起诉决定不服，向中级人民法院提起诉讼，该法院以未先行向检察机关申请为由拒绝受理。
问题：试分析本案中公、检、法机关行为的不当之处，并说明理由。