答案：
（Ⅰ）由f（x）=x3+bx2+cx，得f′（x）=3x2=2bx+c，
∵曲线f（x）=x3+bx2+cx在点A（-1，f（-1）），B（3，f（3））处的切线互相平行，且函数f（x）的一个极值点为x=0，
∴，即，解得：．
∴实数b，c的值分别为-3，0；
（Ⅱ）由f（x）=x3-3x2，∴f′（x）=3x2-6x，
由f′（x）＞0，得x＜0或x＞2，由f′（x）＜0，得0＜x＜2．
∴函数f（x）在区间[-，0)，（2，3]上递增，在（0，2）上递减．
且f(-)=(-)3-3×(-)2=-，f（0）=0，f（2）=23-3×22=-4，f（3）=33-3×32=0．
∴函数y=f（x）（x∈[-，3]）的图象与直线y=m恰有三个交点，则-≤m＜0．
故所求实数m的取值范围是[-，0)．
（Ⅲ）依题意知存在x0∈[1，e]，使得f′（x0）+alnx0≤ax0成立，即x02-x0+alnx0≤ax0成立，
设g(x)=x2+alnx-(a+1)x，则g（x）min≤0，
g′(x)=x+-(a+1)=，
①当a≤1时，由x∈（1，e），g′（x）＞0，得函数g（x）在[1，e]上递增，
∴g(x)min=g(1)=-(a+1)≤0，得-≤a≤1．
②当1＜a＜e时，可知在（1，a）上g′（x）0，
得函数g（x）在（1，a）上递减，在（a，e）上递增，
∴g(x)min=g(a)=-a2+alna-a≤0恒成立，∴1＜a＜e．
③当a≥e时，在x∈（1，e）上g′（x）＜0，∴函数g（x）在[1，e]上递减，
∴g(x)min=g(e)=-e2+a-ae-e≤0，∴a≥，又＜e，
∴a≥e．
综上可知：a≥-．
∴实数a的取值范围是[-，+∞）．