答案：
（1）设抛物线的顶点Q的坐标是（x，y），
则x=-=m+1，y==-m2-3m-4；
∵点Q（m+1，-m2-3m-4）在直线y=-2x-2上，
∴-m2-3m-4=-2（m+1）-2，
解得m1=0，m2=-1；
∵m是非负数，舍去m2=-1，
∴m=0；
∵抛物线解析式为y=x2-2x-3，令y=0，
∴得x2-2x-3=0，
解得x1=-1，x2=3，
∴A（-1，0），B（3，0），Q（1，-4）；
（2）如图，∵抛物线的对称轴是直线x=1，
∴P点在对称轴上，
∴PQ=|1-（-4）|=5；
把A（-1，0）代入y=-2x-2，-2x（-1）-2=0成立，
∴A点在直线y=-2x-2上；
设PQ交x轴于点D，则PQ⊥AB；
在Rt△ADQ中，AQ2=AD2+QD2=20，
在Rt△APD中，AP2=AD2+PD2=5，
∴AQ2+AP2=20+5=25=PQ2；
∴△PAQ是直角三角形，∠PAQ=90°；
∴PA⊥AQ，
∴PA和直线y=-2x-2垂直；
（3）答：∠AMB=∠BAQ；
解法一：
M（x，1）在抛物线y=x2-2x-3上，
∴1=x2-2x-3，
解得x=1±，
∴点M的坐标为（1+，1），PM=|1+-1|=，
∴PA=PM=PB=；
于是点A、M、B都在以点P为圆心，为半径的圆上，如图，
∵AQ⊥AP，
∴AQ是⊙P的切线，
∴∠BAQ=∠AMB；
当x=1-时，点M的坐标为（1-，1）；
同理可得∠BAQ=∠AMB．（15分）
解法二；当x=1+时，作ME⊥x轴于点E，如图，则点E的坐标为（1+，0）；
于是ME=1，EA=1++1=2+，
AM===，
连接BM，作BF⊥AM于F，AB=|3-（-1）|=4，
则S△ABM=ME•AB=AM•BF
∴1×4=•BF
∴BF=
在△MBE中，∠MEB=90°，
BM===
在△BFM中，∠BFM=90°，
sin∠BMF====
在△DAQ中，∠ADQ=90°，
∵sin∠DAQ==，
∴sin∠BMF=sin∠DAQ
而∠BMF、∠DAQ都是锐角，
∴∠BMF=∠DAQ，即∠AMB=∠BAQ；
当x=1-时，同解法一．