已知函数f(x)＝x2－(1＋2a)x＋aln x(a为常数)． (1)当a＝－

发布时间：2017-05-12 10:35 │ 来源：www.tikuol.com

题型：解答题

问题：

已知函数f(x)＝x²－(1＋2a)x＋aln x(a为常数)．

(1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在x＝1处切线的方程；

(2)当a>0时，讨论函数y＝f(x)在区间(0,1)上的单调性，并写出相应的单调区间．

答案：

（1）y＝2x.

（2）函数f(x)的单调增区间是，单调减区间是.

解：(1)当a＝－1时，f(x)＝x²＋x－ln x，

则f′(x)＝2x＋1－，

所以f(1)＝2，且f′(1)＝2.

所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的方程为

y－2＝2(x－1)，即y＝2x.

(2)由题意得f′(x)＝2x－(1＋2a)＋

＝

＝ (x>0)．

由f′(x)＝0，得x₁＝，x₂＝a.

①当0<a<时，由f′(x)>0且x>0，

得0<x<a或<x<1；

由f′(x)<0且x>0，得a<x<.

所以函数f(x)的单调递增区间是(0，a)和，单调递减区间是；

②当a＝时，f′(x)＝≥0，当且仅当x＝时，

f′(x)＝0.

所以函数f(x)在区间(0,1)上是单调递增函数；

③当<a<1时，由f′(x)>0且x>0，

得0<x<或a<x<1；

由f′(x)<0且x>0，得<x<a.

所以函数f(x)的单调递增区间是和(a,1)，单调递减区间是；

④当a≥1时，由f′(x)>0且x>0，

得0<x<；

由f′(x)<0且x>0，得<x<1.

所以函数f(x)的单调增区间是，单调减区间是.

考点：导数的运算 20以内数的连加四边形的分类函数的单调性与导数的关系函数的极值与导数的关系函数的最值与导数的关系

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