已知：二次函数的图象经过点A（1，0）和点B（2，1），且与y轴交点的纵坐标为m

发布时间：2017-05-12 22:17 │ 来源：www.tikuol.com

题型：解答题

问题：

已知：二次函数的图象经过点A（1，0）和点B（2，1），且与y轴交点的纵坐标为m．
（1）若m为定值，求此二次函数的解析式；
（2）若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点，求m的取值范围；
（3）若二次函数的图象截直线y=-x+1所得线段的长为2

2

，确定m的值．

答案：

（1）若m为定值，设二次函数解析式为y=ax²+bx+m，

把A（1，0）和B（2，1）代入上式，得

a+b+m=0

4a+2b+m=1

，

解得

a=

m+1

2

b=

-3m-1

2

，

则二次函数解析式为y=

m+1

2

x²-

3m+1

2

x+m；

（2）若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点，

则

m+1

2

x²-

3m+1

2

x+m=0有两个不相等的实数根，

故△＞0，

即（-

3m+1

2

）²-4×

m+1

2

m＞0，

整理得，m²-2m+1＞0，

（m-1）²＞0，

解得m≠1；

m+1

2

≠0，

解得m≠-1；

则m的取值范围为m≠±1；

（3）设二次函数y=

m+1

2

x²-

3m+1

2

x+m的图象截直线y=-x+1所得线段为MN，且M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．

令

m+1

2

x²-

3m+1

2

x+m=-x+1，

整理，得（m+1）x^2_--（3m-1）x+2m-2=0，

∴x₁+x₂=

3m-1

m+1

，x₁•x₂=

2m-2

m+1

；

∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=（

3m-1

m+1

）²-4×

2m-2

m+1

=（

m-3

m+1

）²；

∵y=-x+1，

∴y₁-y₂=（-x₁+1）-（-x₂+1）=-（x₁-x₂），

∴（y₁-y₂）²=（x₁-x₂）²=（

m-3

m+1

）²；

又∵MN=2

2

，

∴（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=（2

2

）²，

∴2（

m-3

m+1

）²=8，

∴

m-3

m+1

=±2，

∴m₁=-5，m₂=

1

3

．

故所求m的值为-5或

1

3

．

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