已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数．（Ⅰ）当a

发布时间：2017-05-08 15:09 │ 来源：www.tikuol.com

题型：解答题

问题：

已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数．

（Ⅰ）当a=-1时，求f（x）的最大值；

（Ⅱ）讨论f（x）在区间（0，e）上的单调情况；

（Ⅲ）试推断方程|2x（x-lnx）|=2lnx+x是否有实数解．若有实数解，请求出它的解集．

答案：

（Ⅰ）当a=-1时，f（x）=-x+lnx，f′（x）=-1+

1

x

=

1-x

x

…（1分）

当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0．

∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数…（3分）

∴f（x）_max=f（1）=-1…（4分）

（Ⅱ）∵f′（x）=a+

1

x

，x∈（0，e），

1

x

∈(

1

e

，+∞)…（5分）

①若a≥-

1

e

，则f′（x）＞0，从而f（x）在（0，e）上增函数…（6分）

②若a＜-

1

e

，则由f′（x）＞0⇒a+

1

x

＞0，即0＜x＜-

1

a

由f′（x）＜0⇒a+

1

x

＜0，即-

1

a

＜x＜e．…（7分）

∴f（x）在(0，-

1

a

)上增函数，在(-

1

a

，e)为减函数…（8分）

综合上面得：当a≥-

1

e

时，f（x）在（0，e）上增函数；当a＜-

1

e

时，f（x）在(0，-

1

a

)上增函数，在(-

1

a

，e)为减函数．

（Ⅲ）|2x（x-lnx）|=2lnx+x⇔|x-lnx|=

lnx

x

+

1

2

…（9分）

由（Ⅰ）知当a=-1时f（x）_max=f（1）=-1，即-x+lnx≤-1

∴|x-lnx|≥1…（10分）

又令g（x）=

lnx

x

+

1

2

，g′（x）=

1-lnx

x2

，

令g′（x）＞0，得0＜x＜e；令g′（x）＜0，得x＞e

∴g（x）的增区间为（0，e），减区间为（e，+∞）

∴g（x）_max=g（e）=

1

e

+

1

2

＜1，∴g（x）＜1…（12分）

∴|x-lnx|＞g（x），即|x-lnx|＞

lnx

x

+

1

2

…（13分）

∴方程|x-lnx|=

lnx

x

+

1

2

即方程|2x（x-lnx）|=2lnx+x没有实数解．…（14分）

考点：函数的零点与方程根的联系函数的单调性与导数的关系函数的最值与导数的关系

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D．the number of people

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