答案：
（Ⅰ）当a＞0时，由得x＞0；当a＜0时由得-1＜x＜0
综上：当a＞0时函数f（x）的定义域为（0，+∞）；
当a＜0时函数f（x）的定义域为（-1，0）（3分）
（Ⅱ）f′(x)=-+=| (x+1)-xln(ax)-(x+1)2+x(x+1) |
| x(x+1)2 |
=（5分）
令f'（x）=0时，得lnax=0，即x=，
①当a＞0时，x∈(0，)时f'（x）＞0，当x∈(，+∞)时，f'（x）＜0，
故当a＞0时，函数的递增区间为(0，)，递减区间为(，+∞)
②当-1≤a＜0时，-1＜ax＜0，所以f'（x）＞0，
故当-1≤a＜0时，f（x）在x∈（-1，0）上单调递增．
③当a＜-1时，若x∈(-1，)，f'（x）＜0；若x∈(，0)，f'（x）＞0，
故当a＜-1时，f（x）的单调递增区间为(，0)；单调递减区间为(-1，)．
综上：当a＞0时，f（x）的单调递增区间为(0，)；单调递减区间为(，+∞)
当-1≤a＜0时，f（x）的单调递增区间为（-1，0）；
当a＜-1时，f（x）的单调递增区间为(，0)；单调递减区间为(-1，)；（10分）
（Ⅲ）因为当a＞0时，函数的递增区间为(0，)；单调递减区间为(，+∞)
若存在x使得f（x）≥ln（2a）成立，只须f()≥ln(2a)，
即ln()≤ln2a⇒≥2a⇒⇒0＜a≤1（14分）