答案：
（I）当n≥2时，由已知得Sn2-Sn-12=3n2an，
因为an=Sn-Sn-1≠0，所以Sn+Sn-1=3n2①，
于是Sn+1+Sn=3（n+1）2②，
由②-①得an+1+an=6n+3③，
于是an+2+an+1=6n+9④，
由④-③得an+2-an=6⑤，
An（an，bn）（n∈N*）是曲线y=ex上的点，所以bn=ean
所以=ean+2-an=e6，是常数，即数列{}（n≥2）是常数数列．
（II）由①有S2+S1=12，所以a2=12-2a、由③有a3+a2=15，a4+a3=21，所以a3=3+2a，a4=18-2a．
而⑤表明：数列{a2k}和{a2k+1}分别是以a2，a3为首项，6为公差的等差数列，
所以a2k=a2+6（k-1），a2k+1=a3+6（k-1），a2k+2=a4+6（k-1）（k∈N*），
数列{an}是单调递增数列⇔a1＜a2且a2k＜a2k+1＜a2k+2对任意的k∈N*成立．
⇔a1＜a2且a2+6（k-1）＜a3+6（k-1）＜a4+6（k-1）
⇔a1＜a2＜a3＜a4⇔a＜12-2a＜3+2a＜18-2a
⇔＜a＜．
即所求a的取值集合是M={a|＜a＜}．
（III）弦AnAn+1的斜率为kn==，
任取x0，设函数f（x）=，则f（x）=，
记g（x）=ex（x-x0）-（ex-ex0），则g'（x）=ex（x-x0）+ex-ex=ex（x-x0），
当x＞x0时，g′（x）＞0，g（x）在（x0，+∞）上为增函数，
当x＜x0时，g′（x）＜0，g（x）在（-∞，x0）上为减函数，
所以x≠x0时，g（x）＞g（x0）=0，从而f′（x）＞0，
所以f（x）在（-∞，x0）和（x0，+∞）上都是增函数．
由（II）知，a∈M时，数列{an}单调递增，
取x0=an，因为an＜an+1＜an+2，所以kn=＜．
取x0=an+2，因为an＜an+1＜an+2，所以kn+1=＞．
所以kn＜kn+1，即弦AnAn+1（n∈N*）的斜率随n单调递增．