已知数列{an}满足a1=1，a2=12，an-1an+anan+1=2an-1

发布时间：2017-05-03 23:22 │ 来源：www.tikuol.com

题型：解答题

问题：

已知数列{a_n}满足a1=1， a2=

1

2

， an-1an+anan+1=2an-1an+1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}的前n项和为Sn=1-

1

2n

，试求数列{

bn

an

}的前n项和T_n；
（Ⅲ）记数列{1-

a

2n

}的前n项积为∏limit

s

ni=2

(1-

a

2i

)，试证明：

1

2

＜∏limit

s

ni=2

(1-

a

2i

)＜1．

答案：

（Ⅰ）由an-1an+anan+1=2an-1an+1⇒an(an-1+an+1)=2an-1an+1⇒

an-1+an+1

an-1an+1

=

2

an

⇒

1

an+1

+

1

an-1

=

2

an

⇒

1

an+1

-

1

an

=

1

an

-

1

an-1

．

而a1=1且

1

a2

-

1

a1

=2-1=1，

因此{

1

an

}是首项为1，公差为1的等差数列．

从而

1

an

=1+1×(n-1)=n⇒an=

1

n

．

（Ⅱ）当n=1时，b1=S1=1-

1

2

=

1

2

．

当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=(1-

1

2n

)-(1-

1

2n-1

)=

1

2n

．

而b₁也符合上式，故bn=

1

2n

，从而：

bn

an

=

n

2n

．

所以Tn=

1

21

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

⇒

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

．

将上面两式相减，可得：

1

2

Tn=

1

21

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1

2

(1-

1

2n

)

1-

1

2

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

⇒Tn=2-

n+2

2n

．

（Ⅲ）因为1-

a

2n

=1-(

1

n

)2=(1+

1

n

)(1-

1

n

)=

n+1

n

•

n-1

n

．

故∏limit

s

ni=2

(1-

a

2i

)=(

3

2

•

1

2

)•(

4

3

•

2

3

)•(

5

4

•

3

4

)•…•(

n+1

n

•

n-1

n

)=(

3

2

•

4

3

•

5

4

•…•

n+1

n

)•(

1

2

•

2

3

•

3

4

•…•

n-1

n

)

n+1

2

•

1

n

=

1

2

(1+

1

n

)．

由于n≥2，n∈N^*，故0＜

1

n

≤

1

2

，从而

1

2

＜

1

2

(1+

1

n

)≤

3

4

＜1，即

1

2

＜∏limit

s

ni=2

(1-

a

2i

)＜1．

考点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

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下列激素中，能最显著地促进胰岛素分泌的是（）

A.抑胃肽

B.促胃液素

C.促胰液素

D.生长素

E.皮质醇

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十七大报告将“和平发展”确定为大陆和台湾关系的主题。

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CRM是一套先进的管理思想及技术手段，它通过将（1）进行有效的整合，最终为企业涉及到的各个领域提供了集成环境。CRM系统的四个主要模块包括（2）。

空白（1）处应选择（）

A.员工资源、客户资源与管理技术

B.销售资源、信息资源与商业智能

C.销售管理、市场管理与服务管理

D.人力资源、业务流程与专业技术

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输入两瓶以上血液时，两瓶血之间须输入少量的

A．枸橼酸钠
B．等渗盐水
C．葡萄糖酸钙
D．低渗盐水
E．葡萄糖

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在下列页面调度算法中，最容易实现的算法是（）。

A.先进先出算法FIFO

B.最近最久未用置换算法LRU

C.LRU近似算法

D.最佳页面置换算法OPT

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