答案：
（1）由已知得x＞0且f′(x)=2x-(-1)k•．
当k是奇数时，f′（x）＞0，则f（x）在（0，+∞）上是增函数；
当k是偶数时，则f′(x)=2x-=，
所以当x∈(0，)时，f′（x）＜0，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0．
故当k是偶数时，f （x）在(0，)上是减函数，在(，+∞)上是增函数．
（2）若k=2012，则f（x）=x2-2alnx（k∈N*）．
记g （x）=f （x）-2ax=x 2-2a xlnx-2ax，g′(x)=2x--2a=(x2-ax-a)，
若方程f（x）=2ax有唯一解，即g（x）=0有唯一解；
令g′（x）=0，得x2-ax-a=0．因为a＞0，x＞0，
所以x 1=＜0（舍去），x 2=．
当x∈（0，x2）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，x2）是单调递减函数；
当x∈（x2，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（x2，+∞）上是单调递增函数．
当x=x2时，g′（x2）=0，g（x）min=g（x2）．
因为g（x）=0有唯一解，所以g（x2）=0．
则即 | | x22-2alnx2-2ax2=0 | | x22-ax 2-a=0 |
| |
两式相减得alnx2+ax2-a=0，因为a＞0，所以2lnx2+x2-1=0（*）．
设函数h（x）=2lnx+x-1，
因为在x＞0时，h （x）是增函数，所以h （x）=0至多有一解．
因为h （1）=0，所以方程（*）的解为x 2=1，从而解得a=
（3）当k=2011时，问题等价于证明xlnx＞-(x∈(0，+∞))，
由导数可求φ（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是-，当且仅当x=时取到，
设m(x)=-(x∈(0，+∞))，则m′(x)=，
易得m(x)max=m(1)=-，当且仅当x=1时取到，
从而对一切x∈（0，+∞），都有lnx＞-成立．故命题成立．
