已知函数f（x）满足f(x)=ln1+x1-x，（1）求f（x）的定义域；判断f

发布时间：2017-04-28 08:50 │ 来源：www.tikuol.com

题型：解答题

问题：

已知函数f（x）满足f(x)=ln

1+x

1-x

，
（1）求f（x）的定义域；判断f（x）的奇偶性及单调性并给予证明；
（2）对于函数f（x），当x∈（-1，1）时，f（1-m）+f（1-m²）＜0．求实数m的取值范围．

答案：

解（1）由

1+x

1-x

＞0得函数f（x）的定义域为（-1，1）…（2分）

∵f(-x)=ln

1-x

1+x

=ln(

1+x

1-x

)-1=-ln

1+x

1-x

=-f(x)，所以f（x）为奇函数…（4分）

任意x₁，x₂∈（-1，1），x₁＜x₂，则f(x1)-f(x2)=ln(

1+x1

1+x2

×

1-x2

1-x1

)-------------（6分）

∵x₁，x₂∈（-1，1），x₁＜x₂，

∴0＜1+x₁＜1+x₂，0＜1-x₂＜1-x₁------------（7分）

∴0＜

1+x1

1+x2

×

1-x2

1-x1

＜1，

∴f（x₁）＜f（x₂）．

所以f（x）为（-1，1）上的递增函数-------------------------------------------------------（9分）

（2）由（1）可知原不等式变形为f（1-m）＜f（m²-1），

又f（x）为（-1，1）上的递增函数，

∴原不等式满足-1＜1-m＜m²-1＜1，---------------------------------------（11分）

∴m取值范围是(1，

2

)-----------（13分）

考点：函数的奇偶性、周期性分段函数与抽象函数

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B．条件(2)充分，但条件(1)不充分．

C．条件(1)和(2)单独都不充分，但条件(1)和条件(2)联合起来充分．

D．条件(1)充分，条件(2)也充分．

E．条件(1)和条件(2)单独都不充分，条件(1)和条件(2)联合起来也不充分．

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