答案:
(Ⅰ)x+1>0得 f(x)的定义域为(-1,+∞)f′(x)=2x+a-
∵函数f(x)=x2+ax+b-2ln(x+1)在x=0处取到极小值1.
∴f(0)=1,f'(0)=0∴a=2,b=1…(5分)
∴f(x)=x2+2x+1-2ln(x+1)
f′(x)=2(1+x)-=2[(1+x)-]>0⇒>0⇒x>0
f′(x)=2(1+x)-=2[(1+x)-]>0⇒<0⇒-1<x<0,
所以f(x)的单调增区间为(0,+∞);单调减区间(-1,0). …(10分)
(Ⅱ)当x∈[-,e-1]时,不等式f(x)<m恒成立,求实数m的取值范围.
令f′(x)=0⇒(1+x)2=1⇒x=0或x=-2(舍)f(-)=+2ln2,f(0)=1,f(e-1)=e2-2>f(-)
∴当x∈[-,e-1]时,f(x)max=f(e-1)=e2-2
因此可得:不等式f(x)<m恒成立时,m>e2-2…(15分)