答案:
解:(1)f′(x)=a-a-1=,
接下来分两步:
㈠、先考虑条件①:
(i)当a+1≥0时,即a≥-1时,可得f'(x)<0在R上恒成立,
故f(x)在区间(-∞,+∞)上为减函数,与题意不符。
(ii)当a+1<0时,即a<-1时,可得f'(x)≤0的解集为{x|x≥ln(-a-1)},
此时f(x)在(ln(-a-1),+∞)上单调递减,
在(-∞,ln(-a-1))上单调递增,
从而x0=ln(-a-1)是f(x)的极大值点,
结合题意得ln(-a-1)<1,a>-1-e,
所以a∈(-1-e,-1);
㈡、下面找出当a∈(-e-1,-1)时,满足条件②的a的取值范围
又∵f′(x)==-1-,
设g(x)=-1-,
则g'(x)=<0恒成立,
所以f′(x)在(1,+∞)上单调递减,
而f′(1)=-1-,结合f′(x)在(1,+∞)上连续,
当x无限的趋近于+∞时,f′(x)无限的趋近于-1,
可得f′(x)∈(-1,-1-)
直线l 的斜率k=,则
∵直线l 不是函数f(x)图象的切线,
∴-1-在(1,+∞)上恒成立,
即-2a-1≤ex在(1,+∞)上恒成立,
由此可得-2a-1≤e,即a≥
综上所述,a的取值范围是[,-1)。
(2)由(1)知,a>0时,f(x)在区间(-∞,+∞)上为减函数,
∵A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),C(x3,f(x3)),
∴不妨设x1<x2<x3,可得f(x1)>f(x2)>f(x3),x2=,
下面用反证法说明A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),C(x3,f(x3))三点不共线:
若A、B、C三点共线,则有f(x2)=(f(x1)+f(x3))
所以 2=+≥2,得x1=x3与x1<x2<x3矛盾
接下来说明角B是钝角:=(x1-x2,f(x1)-f(x2)),
=(x3-x2,f(x3)-f(x2))
∴=(x1-x2)(x3-x2)+[f(x1)-f(x2)][f(x3)-f(x2)]
∵x1-x2<0,x3-x2>0,f(x1)-f(x2)>0,f(x3)-f(x2)<0,
∴<0,
可得∠B∈(,π),即△ABC是中B为钝角
假设△ABC为等腰三角形,只能是 =
即:(x1-x2)2+[f(x1)-f(x2)]2=(x3-x2)2+[f(x3)-f(x2)]2
∵x2-x1=x3-x2,
∴[f(x1)-f(x2)]2=[f(x3)-f(x2)]2
结合f(x1)>f(x2)>f(x3),
化简得2f(x2)=f(x1)+f(x3),
也就是2aln(1+)-2(a+1)x2=aln(1+)(1+)-(a+1)(x1+x3)
将2x2=x1+x3代入即得:2aln(1+)-2(a+1)x2=aln(1+)(1+)-2(a+1)x2,
∴2ln(1+)=ln(1+)(1+)(1+)2=(1+)(1+),
可得+2=++=+①
而事实上,若①成立,根据+?2=2,
必然得到 =,与x1<x3矛盾
所以△ABC不可能为等腰三角形。