答案:
解:(1)由已知得t=0,f'(x)=2mx+n,
则f'(0)=n=0,f'(﹣1)=﹣2m+n=﹣2,
从而n=0,m=1,
∴f(x)=x2,f'(x)=2x,g(x)=3ax2+b.
由f(1)=g(1),f'(1)=g'(1),
得a+b﹣3=1,3a+b=2,
解得a=﹣1,b=5.
∴g(x)=﹣x3+5x﹣3(x>0).
(2)F(x)=f(x)﹣g(x)=x3+x2﹣5x+3(x>0),
求导数得F'(x)=3x2+2x﹣5=(x﹣1)(3x+5).
∴F(x)在(0,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增,
从而F(x)的极小值为F(1)=0.
(3)因f(x)与g(x)有一个公共点(1,1),
而函数f(x)在点(1,1)的切线方程为y=2x﹣1.
下面验证都成立即可.
由x2﹣2x+1≥0,得x2≥2x﹣1,知f(x)≥2x﹣1恒成立.
设h(x)=﹣x3+5x﹣3﹣(2x﹣1),即h(x)=﹣x3+3x﹣2(x>0),
求导数得h'(x)=﹣3x2+3=﹣3(x﹣1)(x+1)(x>0),
∴h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
所以h(x)=﹣x3+5x﹣3﹣(2x﹣1)的最大值为h(1)=0,
所以﹣x3+5x﹣3≤2x﹣1恒成立.
故存在这样的实常数k和m,且k=2,m=﹣1.