答案：
（Ⅰ）∵函数f(x)=ax2-(2a+1)x+2lnx (a∈R)，
∴f′(x)=ax-(2a+1)+（x＞0）．
∵曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，
∴f'（1）=f'（3），
即a-(2a+1)+2=3a-(2a+1)+，
解得a=．
（Ⅱ）f′(x)=（x＞0）．
①当a≤0时，x＞0，ax-1＜0，
在区间（0，2）上，f'（x）＞0；
在区间（2，+∞）上f'（x）＜0，
故f（x）的单调递增区间是（0，2），
单调递减区间是（2，+∞）．
②当0＜a＜时，＞2，
在区间（0，2）和(，+∞)上，f'（x）＞0；
在区间(2，)上f'（x）＜0，
故f（x）的单调递增区间是（0，2）和(，+∞)，单调递减区间是(2，)
③当a=时，f′(x)=，故f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．
④当a＞时，0＜＜2，在区间(0，)和（2，+∞）上，f'（x）＞0；
在区间(，2)上f'（x）＜0，
故f（x）的单调递增区间是(0，)和（2，+∞），单调递减区间是(，2)．
（Ⅲ）由已知，在（0，2]上有f（x）max＜g（x）max．
由已知，g（x）max=0，由（Ⅱ）可知，
①当a≤时，f（x）在（0，2]上单调递增，
故f（x）max=f（2）=2a-2（2a+1）+2ln2=-2a-2+2ln2，
所以，-2a-2+2ln2＜0，解得a＞ln2-1，
故ln2-1＜a≤．
②当a＞时，f（x）在(0，]上单调递增，
在[，2]上单调递减，
故f(x)max=f()=-2--2lna．
由a＞可知lna＞ln＞ln=-1，
2lna＞-2，-2lna＜2，
所以，-2-2lna＜0，f（x）max＜0，
综上所述，a＞ln2-1．