答案:
(Ⅰ)∵函数f(x)=(ax2+bx+c)ex,
∴f′(x)=[ax2+(2a+b)x+(b+c)]ex,
由,
即,
解得.
经检验,f(x)=(x2-2x+1)ex满足题意.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得f′(x)=(x2-1)ex.
(i)假设x>1时,f′(x)存在“保值区间[m,n]”,(n>m>1).
∵x>1时,f′(x)=(x2-1)ex>0,
∴f(x)在区间(1,+∞)是增函数,
依题意,,
即,
于是问题转化为(x-1)2ex-x=0有两个大于1的不等实根,
现在考察函数h(x)=(x-1)2ex-x(x≥1),
h′(x)=(x2-1)ex-1.
令∅(x)=(x2-1)ex-1,
则∅′(x)=(x2+2x-1)ex,
∴当x>1时,∅′(x)>0,
∴∅(x)在(1,+∞)是增函数,
即h′(x)在(1,+∞)是增函数.
∵h′(1)=-1<0,h′(2)=3e2-1>0.
∴存在唯一x0∈(1,2),使得h′(x0)=0,
当x变化时,h′(x),h(x)的变化情况如下表:
x | (1,x0) | x0 | (x0,+∞) |
h′(x) | - | 0 | + |
h(x) | ↓ | 极小值 | ↑ |
∴h(x)在(1,x
0)上单调递减,在(x
0,+∞)上单调递增.
于是,h(x0)<h(1)=-1<0,
∵h(2)=e2-2>0,
∴当x>1时,h(x)的图象与x轴只有一个交点,
即方程(x-1)2e2-x=0有且只有一个大于1的根,与假设矛盾.
故当x>1时,f(x)不存在“保值区间”.
(ii)f(x)存在“保值区间”,[0,1]是它的一个“保值区间”.